ガルトン・ボードのはなし

ガルトン・ボードは、釘を千鳥に並べた板の上から玉を落とし、いちばん下の仕切りに溜めていく装置です。玉は釘に当たるたびに、左か右へ落ちていきます。 玉1個がどこに入るかは、まったく予測できません。ところが、たくさん落とすと、真ん中が高く、左右に低くなる、釣り鐘のような山の形にそろいます。

なぜ山の形になるのか

各段で、玉が左右どちらへ進むかは、同じ確率だとします。8段なら、全部で2の8乗、256通りの道があります。 いちばん端の仕切りに入るには、8回すべて同じ方向へ進むしかなく、道は1通りだけです。ところが真ん中の仕切りに入る道は、右へ4回、左へ4回の並べ方なので、70通りもあります。 各仕切りに入る道の数は、端から順に1、8、28、56、70、56、28、8、1。これは、パスカルの三角形の8段目と同じ数です。

このサイトのプログラムで、1段から12段まで、すべての道を実際に数え上げて、各仕切りに入る確率が、この道の数を道の合計で割った値に一致することを確かめました。 段の数が多く、玉の数も多いと、この山の形は「正規分布」と呼ばれるなめらかな釣り鐘に近づくことが、数学で知られています。

ガルトンと、その装置

この装置は、イギリスのフランシス・ガルトンが考えたものです。1870年代に考案され、1889年の著書『自然的遺伝』で図入りで説明されて広く知られるようになった、とされています。年については資料で食い違っていて、はっきりしていません。 本来の名前は「クインカンクス」で、5つの点の並び方を表す古い言葉です。「豆の機械」と呼ばれることもあります。

ガルトンは、ばらばらの偶然が積み重なると、全体では規則が現れることに注目しました。著書の中には、見かけの混沌の中の秩序、という趣旨の節もあります。

ただし、ガルトンは統計学に大きな貢献をした一方で、優生学を唱えた人でもあります。優生学は、現在では誤った考えとして否定されています。 ガルトン・ボードの数学は、そうした考えとは無関係で、確率の仕組みを見せる道具として今も使われています。

解くときの考え方

• 「何回右へ進んだか」だけを見る。どの順番で曲がったかは関係なく、右へ進んだ回数が入る仕切りを決めます。
• 道の数を数える。端へ行く道は少なく、真ん中へ行く道は多い。だから真ん中に玉がたまります。
• 確率を足し合わせる。各段の確率を道に沿ってかけて、同じ仕切りに行く道の分を足すと、仕切りごとの確率になります。
• 段を増やして比べる。段が増えると山がなめらかになり、玉が増えると実際の山が理論の形に近づきます。

このサイトのボードは、衝突や速さまでは計算しない、確率だけの簡略化したモデルです。作品ページでは、段数や玉の数、右へ進む確率を変えて、棒グラフと理論の破線を比べられます。