敷きつめと切り分けで考える

欠けたチェス盤をドミノで、欠けた盤をL字で、4枚でT字を、そして正方形を切って三平方の定理を。ならべて、切って、動かすことが、そのまま証明になる4つの話。

図形を「ならべる」「切る」「動かす」だけで、あることが必ず言える、という考え方があります。ここの4つの作品は、どれもその例です。

欠けたチェス盤とドミノ（このサイトの「欠けたチェス盤」）

8×8のチェス盤の、向かい合う隅を2つ切り取ります。残りの62マスを、2マス分のドミノ31枚でぴったり覆えるでしょうか。答えは「できない」です。理由は色にあります。ドミノは必ず白1マスと黒1マスを覆います。ところが、向かい合う隅は同じ色なので、残りは白30・黒32と数が合いません。プログラムで、この盤では色の数のとおり白30・黒32になること、置けるのは最大30枚までで31枚には届かないことを確かめました（domino-chessboard/engine.test.ts）。

この問題は、哲学者のマックス・ブラックが1946年の本で出し、マーティン・ガードナーが1957年に広く紹介した、とされています。では、白1つと黒1つを欠いたときはどうでしょう。「必ず敷ける」というのがゴモリーの定理です。名前はゴモリーですが、証明が活字になったのは1973年のホンズバーガーの本とされます。プログラムでも、2×2から8×8までのすべての「白1・黒1」の欠け方で敷けること、同じ色を2つ欠くとすべての場合で敷けないことを、全部の組み合わせで確かめました。

L字で敷きつめる（このサイトの「L字トロミノ」）

今度は、2のn乗×2のn乗の盤から、どこか1マスを取り除きます。残りを、3マスのL字ですきまなく覆えるでしょうか。できます。盤を4つの四分の一に分けます。取り除いたマスは、どれか1つの四分の一の中にあります。真ん中に、ほかの3つの四分の一に1マスずつかかるL字を1枚置くと、4つの四分の一はどれも「1マスが欠けた、半分の大きさの盤」になります。これをくり返すだけです。これは、1954年にソロモン・ゴロムが論文にまとめた、とされています。欠けたチェス盤の問題がきっかけでした。

プログラムで、2×2、4×4、8×8などの盤で、どの1マスを欠いても、この手順で敷きつめられることを確かめました。使うL字の数は、2×2で1枚、4×4で5枚、8×8で21枚です。また、4のk乗から1を引いた数が3で割り切れること（k が1から12まで）も確かめました。割り切れるので、ちょうど足りるのです（l-tromino-board/engine.test.ts）。

T字をつくる4枚（このサイトの「T字パズル」）

4枚の断片で、T字の形をつくります。1900年前後の、広告の景品として広まった遊びです。最も古い例は1898年の薬の広告とされますが、1903年の紅茶の広告を最古とする資料もあり、はっきりしません。十字のパズルから生まれた、とも言われます。やさしそうに見えて、解くのにかなり時間がかかる人が多いようです。

作品のTは、横8×縦2の棒と、縦5×横2の棒を組み合わせた形で、面積は 8×2＋2×5＝26 です。4枚の断片の面積は 8・8・3・7 で、合計もちょうど26です。プログラムで、答えの配置では断片がTの内側に入り、重ならないことを確かめました。台形2枚を入れ替えた置き方も正解になること、1枚をずらすと完成にならないことも確かめました（t-puzzle/engine.test.ts）。面積が合っていても、組み合わせが合うとは限りません。そこがおもしろいところです。

三平方の定理を切って見る（このサイトの「三平方の定理の切り分け」）

直角三角形の2辺を a、b、斜辺を c とすると、a² ＋ b² ＝ c² です。これを「面積の話」として見ます。a の正方形と b の正方形を切り分けて並べ替えると、c の正方形にぴったりおさまる、というわけです。この作品では、b の正方形を4枚の合同な断片に切り、a の正方形と合わせて c の正方形を埋めます。3-4-5 の三角形なら、9 ＋ 16 ＝ 25 です。プログラムで、断片の面積の合計が c² に等しいこと、b の正方形の4枚が合同で面積がどれも b²/4 であること、答えの配置で c の正方形がすきまなく埋まることを確かめました（pythagoras-dissection/engine.test.ts）。

こうした切り分けでの証明で知られるのが、19世紀のイギリスの人ヘンリー・ペリガルです。職業は株式仲買人などで、数学と天文学を趣味にしていました。彼の切り分けの図は、墓石にも刻まれた、と伝えられています。いつ最初に見つけたか、最初の切り分けの証明なのかは、ここで確かめられなかったので、書きません。

共通すること

数えると、できない理由が分かる：白と黒の数が合わなければ、いくら動かしても敷けません。
分けて、同じ問題に戻す：四分の一に分けると、小さな同じ問題になります。
面積が合うことと、ぴったり合うことは別：面積の合計が合っても、形が合うかは試さないと分かりません。