テトロミノのはなし

正方形を4つ、辺と辺をぴったり合わせてつなげた形を、テトロミノといいます。つなぎ方は、じつは5種類しかありません。 では、この5種類を1つずつ全部使って、すき間なく長方形をつくれるでしょうか。答えは「どうやってもできない」。しかも、試さなくてもわかります。

市松模様で数えると、できないとわかる

5種類を1つずつ使うと、正方形は 4×5 ＝ 20 個です。20個の長方形は、1×20、2×10、4×5 のどれかです。 この長方形を、チェス盤のように白と黒の市松模様で塗ってみましょう。どの長方形でも、白と黒は10個ずつになります。

次に、5つの形を盤の上に置いてみます。直線の形、四角の形、段の形、L字の形は、どの向きに置いても、白2個と黒2個をおおいます。 ところがT字の形だけは、白3個と黒1個、または白1個と黒3個になります。 すると5つ全部で、白と黒の数が11対9（または9対11）になります。10対10にはなれません。だから、長方形をつくれないのです。

このサイトのプログラムでも、すべての向きについて、T が3対1、ほかが2対2であることを確かめました。 4×5 と 2×10 の盤は、すべての置き方を調べても、完成する配置は1つもありませんでした。作品ページの「市松模様を見る」を押すと、この図を見られます。

この「白黒の数を数える」考え方は、試行錯誤をしなくても「できない」と証明できる、強い方法です。 では、T を2つ使えばどうでしょう。1つめを白3の向き、2つめを黒3の向きに置けば、かたよりが打ち消し合います。 このサイトの「2セット」の盤は、そうして長方形ができる問題です。

5種類、7種類、19種類

テトロミノの数は、数え方で変わります。回しても裏返しても同じ形とみなせば5種類です。 裏返しは別の形とし、回すのは同じとみなせば7種類で、L字とS字だけが、鏡に映した形が別物になります。 回しても裏返しても別の形として数えれば19種類です。このサイトのプログラムで、5つの形の向きを数えると、2＋1＋4＋4＋8 ＝ 19 通りになります。

5つの形は、形に近い英字で呼ばれることがあります。有名な落ち物ゲームでも、この形が使われています。

名前の由来

正方形をつなげた形を「ポリオミノ」と呼んだのは、アメリカの数学者ソロモン・W・ゴロムです。2つの正方形がつながった「ドミノ」にちなんだ名前で、つなげる個数にあわせて、4つならテトロミノ、5つならペントミノと呼びます。 1953年に、ゴロムが名づけたとされています。1954年には、ポリオミノについての最初の論文『チェッカー盤とポリオミノ（Checker Boards and Polyominoes）』を発表しています。

解くときの考え方

• すみや端から埋める。角にはまる形は少ないので、置き方がしぼれます。
• 空きのかたまりを数える。まわりから切り離された空きマスの数が4の倍数でないと、そこは永遠に埋まりません。
• 市松模様で白黒を数える。T があるときは特に、白と黒がつり合うかを確かめます。
• 裏返しも使う。L字とS字は、裏返すと別の向きが増えます。

行き詰まったら、作品ページの「ヒント」で、いまの配置から完成できる置き場所を教えてもらえます。「探索を見る」では、コンピューターが試して戻る様子を見られます。