ペントミノのはなし

ペントミノは、同じ大きさの正方形を5個、辺と辺でつなげてできる形のパズルです。そういう形は全部で12種類あり、それをすきまなく盤に敷きつめます。 パズルの形は単純ですが、答えの数は盤の形によって大きく変わります。

12種類は、どうやって数える？

正方形5個のつなげ方は、回したり裏返したりして同じ形になるものを同じとみなすと12種類です。 裏返しは別の形だと考えると18種類、向きまで区別すると63種類になります。パズルでは「回しても裏返しても使ってよい」ので、12種類がそのまま駒の数になります。

このサイトのプログラムでも、12種類の駒がちょうど5マスずつで、向きの数が正しいことを確かめています。

盤の形で、答えの数が変わる

12個の駒は合わせて60マスです。このサイトには、60マスの盤が5種類あります。解の総数は次のとおりです。

盤	解の数
6×10	2339通り
5×12	1010通り
4×15	368通り
3×20	2通り
8×8（中央の4マスを抜く）	65通り

これらの数は、このサイトのプログラムで全通りを調べて確かめました。数え方は「盤全体を回したり裏返したりして重なるものは同じ」とし、盤の一部の駒だけを回したり裏返したりして変わるものは別の解として数えています。 細長くなるほど答えが急に減り、3×20ではたった2通りです。

名前のひみつ

「ペントミノ」は、ギリシャ語で5を表す「ペンテ」と、「ドミノ」から取った「ミノ」をつなげた名前です。 数学者のソロモン・W・ゴロムが、ドミノ（正方形2個）をもとに、正方形をつなげた形をまとめて「ポリオミノ」と名づけました。ドミノの「ドミ」を「2」に見立てた言葉遊びだと言われています。 1954年の論文が、活字になった最初の記録とされています。 3個なら「トロミノ」、4個なら「テトロミノ」です。

12個の駒の名前は、形が似ている文字から付けられています。F、I、L、P、N、T、U、V、W、X、Y、Z です。 「FILiPiNo（フィリピーノ）と、TUVWXYZ」と並べると覚えやすいと言われます。

ペントミノの前と後

ゴロムは1953年ごろ、ハーバード大学の数学クラブでこの話をしたとされています。ただ、形そのものはもっと前から知られていました。 イギリスのパズル作家ヘンリー・ドゥードニーは、1907年の本『カンタベリー・パズル』に「壊れたチェス盤」というパズルをのせています。13個の破片で盤を作る問題で、12種類のペントミノがすべて入った最も古いパズルとされています。 ただし、そのころはまだ「ペントミノ」という名前はありませんでした。

12個で長方形を作る問題は、1930年代にチェスパズルの雑誌にのったものが早い例とされています。

世界に広まったのは、数学コラムの名手マーティン・ガードナーが、アメリカの科学雑誌『サイエンティフィック・アメリカン』で紹介したのがきっかけです。1957年5月号とされ、大きな反響があったそうです。 1965年には、ゴロムが本『ポリオミノ』を出しました。このときは、12個のプラスチックの駒が付いていたそうです。

コンピューターが数えた

6×10の長方形の解が2339通りであることは、1960年にC・B・ハーゼルグローブとジェニファー・ハーゼルグローブがコンピューターで初めて数え上げたとされています。 8×8の中央を抜いた盤が65通りという数は、1958年にダナ・スコットが数えたとされています。どちらも、初期のコンピューターで試行錯誤を自動化した例として知られています。

解くときの考え方

• まず、置きにくい駒から。X（十字）は、真ん中のマスの四方に腕が伸びているので、真ん中を盤の端に置くことはできません。置ける場所が少ない駒から決めると、迷いが減ります。
• すみっこから埋める。角のマスをうまく埋められる駒は限られています。ここが空いたままだと、あとで必ず行き詰まります。
• 小さな穴を作らない。1マスや2マスだけの穴ができたら、どの駒も入りません。置いたあとの空きの形をいつも見ます。
• 行き詰まったら、1つ戻る。コンピューターの探し方もこれと同じで、空いているマスの先頭を埋められる駒を順に試し、だめなら1つ戻します。

いくつか置いたあと動けなくなったら、作品ページの「ヒント」や「コンピューターが解く」で続きを見られます。