3つの扉のはなし

3つの扉のうち、1つの後ろに賞品があり、残り2つははずれです。あなたが1つの扉を選ぶと、賞品の場所を知っている司会者が、残りの扉のうち、はずれの扉を1つ開けて見せます。 そして聞きます。「選びなおしますか？」 答えは、選びなおす。そうすると、当たる確率は3分の1から3分の2に上がります。多くの人が「どちらも2分の1」と思うので、有名な問題になりました。

なぜ変えると得なのか

最初に選んだ扉が当たりの確率は3分の1です。はずれは3分の2です。司会者が扉を開けても、この「最初の選択が当たりか」の確率は変わりません。 ここで、場合を2つに分けて考えます。

• 最初に当たりを選んだ（3分の1）。変えるとはずれます。
• 最初にはずれを選んだ（3分の2）。司会者は当たりを開けられないので、残った別の扉が必ず当たりです。変えると当たります。

つまり、変えて当たるのは「最初にはずれを選んだとき」で、その確率が3分の2です。 扉が10枚なら、最初にはずれを選ぶ確率は10分の9で、司会者が8枚のはずれを開けたあと、変えれば10分の9で当たります。 このサイトのプログラムで、3枚と10枚の扉について、賞品の位置と最初の選択のすべての組み合わせを数え上げ、変えると3分の2、10分の9で当たることを確かめました。

ただし、これには前提があります。司会者は賞品の場所を知っていて、必ずはずれの扉を開け、必ず選びなおすかを聞くという前提です。 司会者が場所を知らずにたまたまはずれを開けた場合など、前提が違うと、答えが変わることがあります。

大論争になった問題

この問題の名前は、アメリカのテレビ番組の司会者にちなみます。1975年に統計学者のスティーブ・セルビンが専門誌に送った手紙で、この名前を使って解説したのが、最も古い出版例とされています。 似た問題は、もっと前からありました。1889年のベルトランの「3つの箱」の問題や、1959年にマーティン・ガードナーが紹介した「3人の囚人」の問題は、考え方が同じだとされています。

1990年9月、雑誌『パレード』のコラムで、マリリン・ヴォス・サヴァントが読者の質問に「選びなおすべきです」と答えました。すると、たくさんの反論の手紙が届きました。 本人の見積もりでは約1万通で、その中には博士号を持つ人からのものも含まれていたと伝えられています。1991年にはニューヨーク・タイムズも1面で取りあげ、世間の話題になりました。

数学者のポール・エルデシュも、最初は「どちらも2分の1のはず」と考え、コンピュータによるシミュレーションを見るまで納得しなかったと、友人のヴァージョニの回想で伝えられています。 プロでも間違えやすい問題だった、ということです。

解くときの考え方

• 司会者の行動に注目する。司会者は、あなたの選んだ扉と当たりの扉は開けません。この制約があるから、情報が増えます。
• 「最初の選択」を固定して、2つの場合に分ける。当たりを選んだのか、はずれを選んだのか。3分の1と3分の2に分けると、答えが見えます。
• 扉を100枚にして考える。1枚を選んだあと、司会者が98枚のはずれを開け、1枚だけ残したら、最初の1枚と、わざわざ残された1枚のどちらが当たりそうでしょうか。
• 実際にやってみる。何百回か試して、変えた場合と変えない場合を数えるのが、いちばん納得しやすい方法です。

作品ページでは、自分で扉を選んで体験できます。自動実験では、同じ回に「変える」と「変えない」の両方を比べるので、結果の差が見えます。