誕生日のパラドックスのはなし

教室に23人がいたとします。その中に、同じ誕生日の人が2人以上いる確率は、どのくらいでしょうか。 少ない、と感じる人が多いはずです。ところが計算すると、23人で、約50.7％。半分を超えます。 これは「パラドックス」と呼ばれますが、矛盾しているわけではありません。ただ、直感と答えがずれているだけです。

なぜ23人でいいのか

ポイントは、「だれかと、だれか」が重なればいい、ということです。「自分と同じ誕生日の人」を探すのとは、別の問題です。 23人なら、2人の組み合わせは253組もあります。人数が増えると、組み合わせは人数のほぼ2乗のペースで増えていくので、思ったより早く重なるのです。

計算は、「だれも重ならない確率」を求めて、1から引きます。1人目はどの日でもよく、2人目は残り364日、3人目は363日……と順にかけていきます。 365分の364、365分の363、……とかけ合わせたものが、全員が別の日になる確率です。 このサイトのプログラムで、23人のときに50.7297％となること、22人ではまだ50％に届かないことを確かめました。人数を増やすと確率が下がらないことも、テストしています。 同じ計算で、70人なら約99.9％と、ほとんど確実になります。ただし、100％になるのは、鳩の巣の原理から366人集めたときです。

計算では、1年を365日で、どの日も同じ確率、うるう年はなし、としています。実際の誕生日には偏りがありますが、偏りがあると重なる確率は、むしろ上がる方向だとされています。

だれが気づいたのか

この問題は、1927年ごろに数学者のハロルド・ダヴェンポートが考えたとされますが、論文にはしませんでした。 活字になった最初のものは、1939年のリヒャルト・フォン・ミーゼスの論文とされています。発見者をひとりに決めるのはむずかしい問題です。

この考え方は、コンピュータの暗号にも使われます。「同じ値を出す、別の入力」を探すとき、すべての可能性を調べなくても、可能性の数の平方根くらいの量で見つかる、という性質です。 この方法は「誕生日攻撃」と呼ばれています。同じ誕生日の人が早く見つかるのと、同じ仕組みです。

解くときの考え方

• 「重なる」を直接数えない。重なるパターンは多すぎます。反対の「全員ちがう」を計算して、1から引くのが近道です。
• 組み合わせの数を見る。人数ではなく、2人の組が何組できるかを考えると、増え方のはやさがわかります。
• だれの誕生日を探すのか、はっきりさせる。「自分と同じ」ではなく「だれか2人が同じ」です。ここがずれると、答えがまったく変わります。
• 実際に何回もためす。人を集めてみて、重なった集まりが何割になるか数えると、計算との一致が見えてきます。

作品ページでは、人数を変えて曲線の上の点を動かしたり、1000回ためして重なった割合を計算と比べたりできます。うるう年や季節の偏りは扱わない、単純なモデルです。