角度の約束と、ユークリッド

「？」の角度を、分度器を使わずに求めるのが、このサイトの「角度パズル」です。使うのは、昔から知られている図形の性質だけです。この読みものでは、その性質のいくつかと、「度」という約束の話をします。

角度パズルで使う性質（このサイトの「角度パズル」）

このサイトの角度パズルは、全部で100問、7つの段階（直線と三角形、等しい辺と外角、平行線と折れ線、多角形、円、組み合わせ、チャレンジ）に分かれています。 図に描いた角度が、問題の数値と0.5度以内で合っていることを、すべての問題でプログラムで確かめました（angle-puzzle/engine.test.ts）。 行きづまったら、ヒントを1段ずつ開けます。

対頂角は等しい

2本の直線が交わると、向かい合う角（対頂角）は等しくなります。ユークリッドの『原論』の第1巻の命題15です。 いちばん最初に使う性質で、ここから先の問題でも、何度も出てきます。

三角形の外角

三角形の1辺をのばしてできる外角は、それととなり合わない2つの内角のどちらよりも大きい。これが『原論』第1巻の命題16です。 「外角は、となり合わない2つの内角の和に等しい」というもっと強い形は、命題32で示されます。命題32は、三角形の内角の和が2直角（つまり180度）という性質でもあります。

平行線と角

平行線に1本の直線が交わると、錯角や同位角が等しくなります。逆に、錯角や同位角が等しければ、その2本は平行です。角度パズルの「平行線と折れ線」の段階で、よく使います。 平行線についての考え方は、『原論』の中でも特別な位置にあり、「平行線の公準」を使わない幾何学を探した長い歴史が、のちの非ユークリッド幾何学につながった、と言われています。

多角形の内角の和

n角形は、1つの頂点から対角線を引くと、(n−2)個の三角形に分けられます。ですから、内角の和は (n−2) × 180度です。四角形なら360度、五角形なら540度になります。 この考え方は、数学としてはまちがいありません。ただし、これを『原論』でユークリッド自身が証明したとは言えません。

360度という約束

『原論』には、そもそも「度」という単位が出てきません。ユークリッドは、角度を「直角の何倍か」で比べていました。度を使う前にも、幾何学は成り立っていたのです。

では、なぜ円を360に分けるのでしょう。この習慣は、バビロニアの天文学に由来するとされます。ヒッパルコス（紀元前2世紀、ロードス島）が、ギリシャの天文学にこの360分割を取り入れた、と説明されます。 ただし、理由は分かっていません。いくつかの説があります。たとえば、1年がおよそ360日で、太陽が1日にほぼ1度ずつ動くから、という説です。 「バビロニアは60進法だから」という説明をよく見かけますが、関係は弱いと書く資料もあり、決め手にはなりません。

便利な理由は、はっきりしています。360は約数が多く、24個あります（1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360）。ですから、2等分、3等分、4等分、5等分、6等分、8等分、10等分、12等分などが、きれいな整数の度になります。 ただし、便利だから360になったと言えるわけではありません。便利な理由と、由来は別の話です。

考え方

• まず、図の中の「ふつうの形」を探します。直線、三角形、平行線、円。
• わかる角から、足したり引いたりして、「？」に近づきます。
• 手がかりがなければ、補助の線を考えます。多角形なら、三角形に分けてみます。

角度パズルのヒントは、考え方、作戦、次の一手の順に出ます。まずは、考え方だけ見てみましょう。